Problemas, procedimentos e indIspensabilidade da sobreposição nas provas de congruência de triângulos em I.4 e I.8 dos Elementos de Euclides

Resumen

O Livro I dOs Elementos de Euclides começa com três propositiones que pedem a solução de três problemas. Diferente do que acontece em outras propositiones, elas não constituem uma asserção de propriedades ou relações entre objetos geométricos. Nelas pedem-se ações cuja execução geram objetos geométricos. As propositiones que demandam a obtenção de um objeto geométrico são via de regra apresentadas como problemas. Sua resolução vem normalmente acompanhada da resolução de um segundo problema: o problema de demonstrar que a solução oferecida anteriormente é correta. Só a partir da quarta propositio começarão a aparecer os teoremas dOs Elementos. Consideraremos a seguir, de modo propedêutico, as implicações de adotar uma abordagem da geometria na qual as propositiones sejam interpretadas como problemas, inclusive aquelas lidas como teoremas, e também que a solução de um problema de construção é um procedimento ou algoritmo baseado nos postulados. Finalmente, dentro do arcabouço esboçado, ofereceremos provas alternativas para os dois primeiros teoremas de congruência de triângulos sem apelo algum à afamada operação de sobreposição.